研究生数学真题

## 《高等数学》真题解析：函数极限与连续性 ### 一、引言 高等数学，作为大学数学教育的核心课程，不仅要求学生掌握基本的计算技巧和方法，更要培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。《高等数学》真题解析系列文章旨在帮助学生深入理解高等数学的基本概念，掌握解题方法和技巧，提高解题速度和准确度。 ### 二、函数极限 **1. 极限的定义** 函数的极限描述了当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋势。设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某去心邻域内有定义，如果存在常数 \(A\)，对于任意给定的正数 \(\epsilon\)（无论它多么小），总存在正数 \(\delta\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - A| < \epsilon\) 成立，则称常数 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的极限，记作 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)。 **2. 极限的计算方法** 极限的计算通常涉及因式分解、有理化分母、洛必达法则等技巧。例如，计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 时，可以通过等价无穷小替换，将 \(\sin x\) 替换为 \(x\)，从而简化计算。 ### 三、函数连续性 **1. 连续性的定义** 函数在某点连续意味着当自变量在该点取任意值时，函数值都存在且等于该点的函数值。设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处有定义，如果对于任意给定的正数 \(\epsilon\)，总存在正数 \(\delta\)，使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - f(x_0)| < \epsilon\) 成立，则称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续。 **2. 连续性的判断方法** 判断函数在某点是否连续，需要检查函数在该点是否有定义，以及是否满足连续性的定义。此外，还需要注意分段函数在分段点处的连续性。 ### 四、历年真题解析 通过分析近年来的《高等数学》真题，我们可以发现以下命题趋势： * **极限部分**：题目趋向于考察学生对极限定义和计算方法的综合运用能力。 * **连续性部分**：题目趋向于考察学生对函数连续性定义和判断方法的理解及应用能力。 例如，在某年真题中，出现了如下题目：求 \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)\) 的值。这道题主要考察了极限的计算方法，通过直接代入 \(x = 2\)，可以迅速得到结果为 3。 ### 五、结语 高等数学不仅是一门理论性很强的课程，更是一门实践性极强的课程。通过深入理解和掌握函数极限与连续性的相关知识，学生能够更好地应对各种复杂的数学问题。同时，定期的练习和真题解析也是提高数学能力的重要途径。希望本文能对广大考研学子在高等数学的学习和考试中提供有益的帮助和指导。