流体动力学方程
流体动力学方程是描述流体运动规律的数学模型，它们是物理学和工程学领域的基础。这些方程可以用来描述流体的速度场、压力场以及流体与周围环境之间的相互作用。以下是一些常见的流体动力学方程：
1. **连续性方程**：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$
这个方程描述了流体的连续性，即流体中物质的密度随时间和空间的变化率等于流体速度与密度的乘积在整个空间中的散度。
2. **动量方程**（纳维-斯托克斯方程）：
$\frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \rho \mathbf{g}$
这个方程描述了流体动量的变化率，包括压力、粘性应力和重力对流体运动的影响。
3. **能量方程**（能量守恒方程）：
$\frac{\partial (\rho E)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho E \mathbf{u}) = Q - W$
这个方程描述了流体能量的变化率，其中 $\rho E$ 是流体的总能量，$Q$ 是流体与外界的热交换，$W$ 是流体内部由于摩擦等内部热源而产生的热量。
4. **贝努利方程**：
$\frac{1}{2} \rho u^2 + \rho g z + P = \text{常数}$
当流体通过一个固定高度的管道时，这个方程描述了管道两端压力的关系。
5. **雷诺方程**：
$\frac{d}{dx} \left( \frac{u^2}{2} \right) + \frac{1}{\rho} \nabla p = \nu \nabla^2 u$
这个方程描述了湍流流动的特征，其中 $u$ 是流体速度，$\rho$ 是流体密度，$p$ 是压力，$\nu$ 是动力粘性系数，$\nabla^2$ 是拉普拉斯算子。
6. **哈兹-威廉姆斯方程**：
$\frac{d}{dx} \left( \frac{u^3}{3} \right) + \frac{1}{\rho} \nabla p = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right)_{\text{ad}}$
这个方程描述了非定常不可压缩流动，特别是在激波处的流动。
这些方程通常是偏微分方程，需要使用计算机代数系统或数值方法来求解。在流体力学的研究和应用中，这些方程是理解和预测流体行为的关键工具。