无穷级数求和公式
无穷级数求和公式是数学中的一个重要概念，它涉及将一个无穷序列的和表示为一个封闭的形式。以下是一些常见的无穷级数求和公式及其应用：
### 1. 常数级数求和
常数级数的求和公式非常简单：
\[ S = \sum_{n=0}^{\infty} c = c + c + c + \cdots \]
如果常数 \( c \) 是有限的，那么这个级数的和就是：
\[ S = \frac{c}{1 - r} \]
其中 \( r \) 是公比，且 \( |r| < 1 \)。例如，级数 \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots \) 的和为：
\[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \]
### 2. 几何级数求和
几何级数是指每一项都是前一项乘以一个常数 \( r \) 的级数：
\[ S = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n \]
如果 \( |r| < 1 \)，那么这个级数的和为：
\[ S = \frac{a}{1 - r} \]
例如，级数 \( 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \) 的和为：
\[ S = \frac{1}{1 - r} \]
### 3. p-级数求和
p-级数是指形如 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) 的级数，其中 \( p \) 是一个正实数：
- 当 \( p > 1 \) 时，p-级数是收敛的，其和为：
\[ \zeta(p) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \]
例如，欧拉-马歇罗尼常数 \( \zeta(2) \) 的值为：
\[ \zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]
### 4. 调和级数求和
调和级数是指每一项都是前一项的倒数级数的级数：
\[ H = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \]
调和级数是发散的，但我们可以使用一些近似公式来估计其和。例如，欧拉-马斯刻若尼常数 \( H \) 的近似值为：
\[ H \approx \ln(n) + \gamma \]
其中 \( \gamma \) 是欧拉-马歇罗尼常数，约为 0.57721。
### 5. 柯西级数求和
柯西级数是指每一项都是前一项的某种函数值的级数。一个著名的例子是泰勒级数：
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n \]
其中 \( f^{(n)}(a) \) 是函数 \( f \) 在 \( x = a \) 处的第 \( n \) 阶导数。
### 6. 分布级数求和
分布级数是指每一项都是某个随机变量的函数的级数。例如，马尔可夫链的遍历定理给出了分布级数的求和公式。
这些无穷级数求和公式在数学分析、概率论和统计学中有广泛的应用。通过掌握这些公式，可以更好地理解和解决与无穷级数相关的问题。
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